Mattenötter för att värma upp mattehjärnan. Uppdragen är lämpliga för Åk 1-9.
Tal och talmönster
Ändamål
Eleverna kommer att lära sig att undersöka ett påstående, i det här fallet Collatz förmodan. Här ska eleverna arbeta systematiskt och strukturerat. På jakt efter svar behöver de använda addition, multiplikation och division.
Det enklaste matematiska problemet som ingen har kunnat lösa - Collatz förmodan
Ett av världens matematiska problem som ännu inte har lösts är Collatz’ förmodan (även kallat Collatz problem). Det är ett olöst talproblem som formulerades av den tyske matematikern Lothar Collatz 1937. Förmodan är följande:
’Välj ett valfritt heltal. Siffran du har valt är antingen ett udda eller ett jämnt tal. Därefter följer vi två enkla regler:
- Om talet är jämnt ska det divideras med 2. Det vill säga (n / 2).
- Om talet är ett udda tal, multipliceras det med 3 och sedan adderas 1. Det vill säga (3n + 1).
Vi upprepar nu proceduren med det nya talet vi kom fram till. Om du nu fortsätter denna procedur kommer du att hamna på 1. Varje gång !!
Vad förmodan frågar är om detta gäller alla naturliga tal, dvs positiva heltal (1,2,3,…). Är det så att vi alltid kommer att hamna på 1 efter ett visst antal beräkningar?
Se exemplen nedan.
Exempler
Ex. 1
Om n = 5 har vi följande:
5 är ett udda tal. Vi multiplicerar därför med 3 och adderar 1. Då får vi 5 * 3 + 1 = 16
Det är ett jämnt tal, så då dividerar vi med 2. Vi får 16: 2 = 8
Vi fortsätter med dessa två regler och får följande beräkningar.
8 : 2 = 4
4 : 2 = 2
2 : 2 = 1
Kortfattat får vi dessa svar: 5→16→8→4→2→1.
Ex. 2
Hur blir det om vi tar n=7:
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1.
Ex. 3
Eller n=13:
13→40→20→10→5→16→8→4→2→1.
Loop
Om vi tittar på talet 1, så är det speciellt. 1 är ett udda tal, så vi får 1 * 3 + 1 = 4. Det är ett jämnt tal, så då får vi 4: 2 = 2 som i sin tur ger 2: 2 = 1. Om vi fortsätter denna process kommer vi att se att mönstret upprepar sig och vi får det vi i programmering kallar en loop.
1→4→2→1→4→2→1→4→2→1→4→2→1→4→2→1→4→2→1…
Matematiker har prövat miljontals tal och de har aldrig hittat ett enda tal som inte slutade på 1 till slut. Saken är den att de aldrig har kunnat bevisa att det inte finns något speciellt tal där ute som aldrig leder till 1. Det är möjligt att det är ett riktigt stort tal som går till oändligheten istället, eller kanske ett tal som hamnar i en loop och aldrig når 1. Men ingen har någonsin lyckats bevisa det med säkerhet.
Om någon vill programmera en visualisering av gissningen i Python finns inspiration till det på denna hemsida.
https://trinket.io/python3/f2a32f2cd0
Vill du ha ytterligare inspiration kan följande filmer vara spännande:
https://www.youtube.com/watch?v=O2_h3z1YgEU
https://www.youtube.com/watch?v=094y1Z2wpJg
Hälsningar och matematik
Denna aktivitet kan anpassas till de flesta årskurser. Ju längre eleverna har kommit i sin matematiska utveckling, desto fler kan vara i gruppen vi börjar med.
Mål
Eleverna får lära sig att tolka en praktisk situation. Det de får reda på måste organiseras och systematiseras i sökandet efter lösningen. Lösningen måste sedan prövas i praktiken. För de äldre eleverna kan lösningen de hittar generaliseras, dvs göras giltig för liknande situationer.
I det här exemplet börjar vi med att dela in klassen i grupper med fyra elever i varje. Vi ger sedan följande uppgift till eleverna:
Uppgift
Ni ska nu hälsa på varandra. Ni får gärna hälsa med armbågen. Alla i gruppen ska hälsa på varandra en gång. Ingen ska hälsa på samma elev två gånger. Hur många hälsningar blir det i gruppen?
Eleverna organiserar och genomför hälsningen i praktiken och räknar antalet. Här gäller det att arbeta systematiskt. En del kommer förmodligen att ställa sig på rad, medan andra kommer att tycka att det är bättre att stå i en ring.
Eleverna ska nu komma fram till en uträkning som visar hur många hälsningar det blir.
- Hur många hälsningar blir det om det kommer en elev till?
- Tänk om halva eller hela klassen ska hälsa på varandra?
- Försök ta reda på hur många hälsningar det blir genom att t.ex. 20, 30, 50 eller kanske 100 personer hälsar på varandra.
- Kan du hitta en formel?
Har du tillgång till rep eller garn är detta ett bra verktyg.
- Klipp så många replängder du behöver.
- Se till att de är tillräckligt långa så att eleverna kan stå i en cirkel för att se hur repen bildar ett mönster.
- De som hälsar på varandra ska hålla i varandras ändar av repen. Vilken typ av mönster uppstår?
Hälsningen är identisk med att ta reda på hur många olika linjer man kan dra mellan ett visst antal punkter på en cirkel.
Möjliga lösningar från elever
- Om det är 4 elever i cirkeln kommer någon att hävda att varje elev ska hälsa på 3 andra. Det blir 4 * 3 = 12 hälsningar. Andra kommer att hävda att det blir 12/2 = 6, eftersom antalet måste halveras då man inte ska hälsa på varandra två gånger. Om den här sista lösningen inte kommer upp bör du be eleverna kontrollera om svaret de har kommit fram till inte är lite för många? För om två personer hälsar på varandra så ska vi inte räkna det som två hälsningar? Om så är fallet, hur många hälsningar har du för mycket?
- När de försöker igen kommer de att upptäcka att det blir 3 + 2 + 1 = 6 hälsningar, eftersom de som har hälsat på första personen inte kommer att hälsa på hen igen.
- Om det komme en elev till i gruppen ska han hälsa på alla fyra elever som redan är med i gruppen, då blir det 4 hälsningar till, totalt 10 hälsningar.
Med det andra sättet att tänka blir det (5 * 4) / 2 = 10 med en extra elev.
Här kan flera strategier dyka upp bland eleverna. Diskutera de olika lösningarna i gruppen eller i klassen. Beroende på nivån och åldern på eleverna i klassen kan man kanske upptäcka formeln för summan:
For fire elever ser dette da slik ut:
På samma sätt finner vi då följande:
20 elever = 190 hälsningar
30 elever = 435 hälsningar
50 elever = 1225 hälsningar
100 elever = 4950 hälsningar
